Descrizione del modello

Il modello è composto da due sferette cariche elettricamente con una carica pari a quella dell'elttrone che hanno le seguenti peculiarità:
1. Sono prive di massa
2. Una delle due sferette ha una carica positiva pari in modulo a quella dell'elettrone, l'altra ha carica negativa, sempre pari in modulo a quella dell'elettrone.
2. Descrivono due circonferenze, complanari e concentriche aventi una, quella positiva, raggio R_p e l'altra, quella negativa
R_n
3. Procedono nello stesso verso, generando correnti opposte
4. I raggi delle due circonferenze, quello della sferetta postiva e quello della sferetta negativa, misurano rispettivamente:
R_p = 2.996729102 x 10^-16 m
R_n = 7.020026506 x 10^-16 m

Rappresentazione simbolica del campo magnetico come rotore del potenziale vettore.

I fondamenti teorici di questo articolo di ricerca si basano sul lavoro intitolato “L’elettrone elettromagnetico” di Vassallo-Celani. Prima di entrare nel cuore del modello, è utile fare una breve premessa sul concetto di potenziale vettore.

Dato un campo vettoriale — ad esempio il campo magnetico \(\mathbf{B}\) — il potenziale vettore \(\mathbf{A}\) è definito come quel campo tale che:

$$\mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A}$$

Il potenziale vettore è un'entità matematica la cui derivata temporale fornisce una parte del campo elettrico. In presenza di cariche statiche e correnti elettriche, il campo elettrico può essere espresso come:

$$ \mathbf{E} = -\nabla \phi - \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} $$

Dove \(-\nabla \phi\) rappresenta il contributo del potenziale scalare e \(-\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}\) quello del potenziale vettore.

Una sferetta carica, priva di massa e in moto circolare, genera una corrente e quindi un potenziale vettore \(\mathbf{A}\). La sua derivata temporale restituisce il campo elettrico associato alla corrente stessa.

Il prodotto \(e \mathbf{A}\)

Il prodotto tra la carica \(e\) e il potenziale vettore \(\mathbf{A}\) ha le dimensioni fisiche di una quantità di moto. Infatti:

\[ [eA] = [e \cdot E \cdot t] = [F \cdot t] = [p] \]

In altre parole: una sferetta carica, priva di massa, ma in movimento, possiede una quantità di moto che non è meccanica, bensì di natura puramente elettromagnetica.

L'equazione fondamentale del modello, che lega carica, potenziale vettore, massa elettromagnetica e velocità, è:

$$ \mathbf{e} \mathbf{\vec{A}} = m \mathbf{\vec{c}} $$

Cosi ciacuna delle sferette cariche, sebbene prive di massa, posseggono una massa di natura elettromagnetica

Il modello permette di applicare le equazioni di Eistein e di Plank a ciscuna delle sferette, indicando quindi con
m_p : massa della sferetta carica positivamente [kg] 0 [eV]
m_n : massa della sferetta carica negativamente [kg] 0 [eV]
e : carica dell'elettrone [C]
R_p : raggio della circonferenza descritto dalla sferetta carica positivamente [m]
R_n : raggio della circonferenza descritto dalla sferetta carica negativamente [m]
E' possibile scrivere:
$$ E = \hbar \omega $$
$$ E = m c^2 $$
Uguagliando le due espressioni dell'energia, risolvendo rispetto alla massa, con semplici considerazioni sul moto circolare, è possibile scrivere:
$$ m = \frac{\hbar \omega}{c^2} = \frac{\hbar}{R c} $$

$$ R =\frac{\hbar}{m c}$$ Poichè le cariche, opposte in segno, si muovono nello stesso verso, il momento magnetico generato dalla corrente della carica negativa
e quello generato dalla corrente della carica positiva, si sottraggono.
Semplici considerazioni permettono di esprimere il momento magnetico totale nel seguente modo:
$$ \mu_{tot} = \frac{ec}{2} (R_n -R_p) $$
Imporremo che il momento magnetico totale sia uguale a quello accettato per il neutrone. Inoltre la somma delle due masse, di natura elettromagnetica
delle due sferette dovrà esseere uguale alla massa accettat per il neutrone
Si ha:
$$ \mu_{tot} = \frac{ec}{2} (R_n -R_p) $$
$$ m_{tot} = \frac{\hbar}{R_n c} + \frac{\hbar }{R_p c} $$

Introduci la massa accettata del neutrone kg
Introduci il valore del momento magnetico accettato per il neutrone JT^-1

raggio Rp = ... m
raggio Rn = ... m

Calcolo del momento angolare del neutrone

Le due sferette, che procedono nello stesso verso, hanno entrambe una massa la cui somma da luogo alla massa del neutrone
Inoltre, ciscuna delle sferette avrà un momento della quantità di moto diverso da zero. Poichè le sferette si muovono nello stesso verso
i due momenti angolari da esse egenerate si sommeranno. Si pertanto:
$$ L_{tot}= m_p R_p c + m_n R_n c = \frac{\hbar}{R_p c} R_p c + \frac{\hbar}{R_n c} R_n = 2 \hbar $$

In prima battuta tale risultato potrebbe sembrare in disaccordo con le misurazioni sperimentali, che attestano un valore accettato per lo spin di

$$ \frac{\hbar}{2} $$ Tuttavia bisogna tener conto che lo spin è la proiezione lungo l'asse di un campo magnetico, del momento della quantità di moto del neutrone
Non è, direttamente, il momento della quantità di moto. Com'è noto, lo spin misurato di un neutrone è \[ \frac{1}{2} \hbar \]
Il neutrone, tuttavia; non si allinea col campo magnetico esterno impiegato per misurarne lo spin, ma forma con esso un certo angolo.
imponiamo che \[ \frac{\hbar}{2} cos (\phi) = 2 \hbar \]

Risolvendo l'ultima espressione rispetto a \[\phi\] otteniamo: \[\phi = 75,5 ° \] Supponendo quindi che, il modello del neutrone si comporti come un giroscopio e supponendo un valore per l'angolo di precessione
di circa 75.5°, possiamo supporre che lo spin misurato sia \[\frac{\hbar}{2}\]

in = ...
ip = ...
Forza elettrica = ...
ForzaMagnetica = ...

Consideriamo un sistema di riferimento composto da tre assi cartesiani ortogonali x, y, z. Supponiamo che l'anello di corrente giaccia
sul piano individuato dagli assi x ed y e si propaghi con una certa velocita \(v_z\) lungo l'asse z
I due anelli di corrente hanno due differenti raggi a riposo. Quando si ha il moto lungo l'asse z, ognuna delle sferette descrivere una traiettoria elicoidale
traiettoria elicoidale. Tuttavia, poichè la velocità assoluta di ciascuna sferetta, non può superare quella della luce, il percorso lungo la traiettoria elicoidale
nel tempo di un periodo, deve essere uguale a quello descritto quando la particella è a riposo.
Inoltre la sferetta positiva che ha raggio minore di quella negativa, descriverà un'elica di lunghezza maggiore. Il moto lungo l'asse z, tenderebbe
a disaccoppiare i due anelli di corrente ed il neutrone risulterebbe instabile come infatti accade nella realtà. Indicando con \[R_n\] il raggio a riposo dell'anello di corrente generato dalla sferetta negativa, con \[R_{rel.n}\] il raggio in movimento
della sferetta negativa e similmente \[R_p\] ed \[R_{rel.p}\] per la sferetta positiva, è possibile scrivere:
\[ (2 \pi R_n)^2 = (2 \pi R_{rel.n})^2 + (\frac{2 \pi R_n}{c})^2 (v_z)^2\]
Semplici passaggi algebrici ci permettono di pervenire ad un'espressione dei due raggi relativistici: quello relativo alla sferetta positiva
e quelllo relativo alla sferetta di carica negativa. Si ha: $$ R_{rel-n} = R_n \sqrt{1 -\frac{v_z^{2}}{c^2}}
R_{rel-p} = R_p \sqrt{1 -\frac{v_z^{2}}{c^2}} $$

In ultima analisi, nell’ipotesi che la velocità v_z sia diversa da zero, il raggio delle due circonferenze, descritte dalle due sferette
diminuisce progressivamente, tendendo a zero quando $$ v_z→c$$ fissato un intervallo di tempo ∆t, la distanza percorsa lungo z,
dalla sferetta positiva sarà maggiore rispetto alla distanza percorsa dalla sferetta negativa. I due anelli di corrente tenderebbero cosi a disaccoppiarsi

Prendiamo in anlaisi il prodotto della velocità angolare di ciascun anello di corrente per il raggio dell'anello stesso
Come già visto , la relazione che lega la massa elettromagnetica, alla pulazione ed al raggio di ciascun anello di corrente, è la seguente
$$ m = \frac{\hbar \cdot \omega }{c^2} = \frac{\hbar}{R \cdot c} $$

Dall'ultima relazione, facilmente si ricava:
$$ \omega \cdot R = c $$ In altre parole, il prodotto della velocità angolare della particella per il raggio di curvatura è una costante.
Nel caso in cui un anello di corrente procedesse lungo l'asse z con velocità v_z la velocità angolare aumenterebbe ed il raggio diminuirebbe
Ciò può voler dire che, un tentativo di confinare la particella lungo un asse, ( minore indeterminazione sulla posizione), produrrebbe come effetto, il tendere
della velocità angolare ad infinito. Questo fenomeno può essere interpretato come una sorta di principio d'indeterminazione

Nel presente modello, il neutrone è descritto come un sistema composto da due cariche opposte in segno,
in rotazione lungo due anelli coassiali: le cariche generano cosi due anelli di corrente aventi verso opposto.
I parametri numerici stimati sono:

Raggio dell’anello interno (positivo): Rp ≈ 2,99 × 10⁻¹⁶ m Corrente: Ip ≈ 2,45 × 10⁴
Raggio dell’anello esterno (negativo): Rn ≈ 7,02 × 10⁻¹⁶ m Corrente: In ≈ 1,09 × 10⁴ A

La velocità delle due cariche, pari a c, è notevolmente alta. Calcoliamo i periodi di rotazione delle due cariche. Indicando con
T_n:periodo dirotazione della sferetta negativa[m]
T_p:periodo dirotazione della sferetta positiva[m]
È possibile scrivere:
$$ T_n= \frac{2 \cdot \pi \cdot R_n}{c} =\frac {2π × 2.99 × 10^{-16}}{299792458} =15 ×10^{-24} s $$
$$ T_p =\frac{2 π R_p}{c}= \frac{2 π× 2.99 10^{-16}}{299792458} ≅ 6.3 ×10^{-24} s $$
Se il tempo di rivoluzione è estremamente piccolo, allora qualsiasi osservatore esterno (cioè con strumenti che hanno un tempo di risposta molto più lungo)
non riesce a risolvere la posizione istantanea della carica. Quindi: La carica appare “distribuita” lungo l’anello, come una densità lineare costante.

Per ragioni di simmetria, la distribuzione di carica lungo l’anello interno è soggetta a forze radiali uscenti dal centro della circonferenza,
la cui risultante vettoriale complessiva risulta nulla. Analogamente, l’anello esterno sperimenta forze radiali dirette verso il centro,
anch’esse distribuite simmetricamente, con risultante pari a zero.
In queste condizioni, ciascuno dei due anelli si trova
in uno stato di equilibrio: sia la risultante delle forze agenti, sia la risultante dei momenti torcenti applicati, è nulla. Qualora intervengano perturbazioni esterne che tendano a disaccoppiare gli anelli, purché di entità contenuta, le forze coulombiane
tra le due distribuzioni cariche tenderanno a ristabilire la configurazione originaria, mantenendo la struttura concentrica e simmetrica
del sistema. È possibile fare delle considerazioni simili per le forze di natura magnetica dovute alla presenza dei due anelli di corrente.

Dalla figura è possibile notare che l'anello interno di corrente, per ragioni si simmetria, subiscece delle forze radiali, le cui rette
d'azione passano per il centro della circonferenza ed uscenti dl centro. Sempre per ragioni di simmetria è possibile affermare che la risultante di queste forze è zero
Considerazioni analoghe ci permettono di affermare che l'anello esterno, subisce delle forze radiali, entranti verso il centro della circonferenza
la cui risultante vetttoriale è nulla

Modello alternativo: interazione tipo dipolare Ciascun anello può anche essere considerato come un dipolo magnetico. In questa visione:
• I due anelli si comportano come due magneti affiancati con il polo nord di uno rivolto verso il sud dell’altro.
• Questo tipo di accoppiamento genera attrazione stabile lungo l’asse comune e può spiegare un assetto coassiale duraturo.

Configurazione magnetica: da instabile a stabile

Inizialmente i due magneti sono in configurazione instabile (N-N). Dopo 3 secondi, uno dei magneti ruota di 180° per raggiungere la configurazione stabile (N-S).