Un'equazione di secondo grado si presenta nella forma:
$$ax^2 + bx + c = 0$$
dove a, b e c sono coefficienti reali con a ≠ 0, mentre x è la variabile reale.
A differenza di un’equazione di primo grado, che può ammettere al più una sola soluzione, un’equazione di secondo grado può ammettere due soluzioni reali, che indichiamo con x₁ e x₂.
In altre parole, se l’equazione ammette soluzioni reali e distinte, esistono due valori x₁ e x₂ tali che, sostituendoli al posto della variabile x, il primo membro si annulla e l’equazione diventa un’identità.
Un’equazione di secondo grado si dice pura se:
$$a \neq 0,\quad b = 0,\quad c \neq 0$$
In questa situazione l’equazione assume la forma: $$ax^2 + c = 0$$
Applicando la regola del trasporto: $$ax^2 = -c \quad \Rightarrow \quad x^2 = -\frac{c}{a}$$
Esempio 1
$$x^2 - 36 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 = 36$$
$$x = \pm \sqrt{36} \quad \Rightarrow \quad x_1 = 6,\; x_2 = -6$$
Esempio 2
$$9x^2 - 72 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 = \tfrac{72}{9} = 8$$
$$x = \pm \sqrt{8} = \pm 2\sqrt{2} \quad \Rightarrow \quad x_1 = 2\sqrt{2},\; x_2 = -2\sqrt{2}$$
Esempio 3
$$9x^2 + 72 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 = \tfrac{-72}{9} = -8$$
Nessuna soluzione reale, poiché non è possibile estrarre la radice quadrata di un numero negativo nel campo dei reali.
Un’equazione di secondo grado si dice spuria se:
$$a \neq 0, \quad b \neq 0, \quad c = 0$$
In questo caso l’equazione assume la forma: $$ax^2 + bx = 0$$
Si può raccogliere la variabile x a fattor comune: $$x(ax + b) = 0$$
Applicando la legge di annullamento del prodotto, si ottiene:
In definitiva, l’equazione spuria ammette due soluzioni: $$x_1 = 0, \quad x_2 = -\tfrac{b}{a}$$
$$12x^2 - 144x = 0$$
$$x(12x - 144) = 0$$
Soluzioni:
$$x_1 = 0, \quad x_2 = \tfrac{144}{12} = 12$$
Inserisci i coefficienti dell'equazione
$x^2$ + x + = 0
...
...
...
...
Un’equazione si dice completa quando tutti i coefficienti a, b e c sono diversi da zero:
$$ax^2 + bx + c = 0, \quad a \neq 0, \; b \neq 0, \; c \neq 0$$
Dividendo entrambi i membri per a: $$x^2 + \tfrac{b}{a}x + \tfrac{c}{a} = 0$$
Aggiungendo e sottraendo $$\left(\tfrac{b}{2a}\right)^2$$: $$x^2 + \tfrac{b}{a}x + \tfrac{c}{a} + \left(\tfrac{b}{2a}\right)^2 - \left(\tfrac{b}{2a}\right)^2 = 0$$
Trasportando i termini: $$x^2 + \tfrac{b}{a}x + \left(\tfrac{b}{2a}\right)^2 = -\tfrac{c}{a} + \left(\tfrac{b}{2a}\right)^2$$
Riconosciamo un quadrato di binomio: $$(x + \tfrac{b}{2a})^2 = \tfrac{b^2 - 4ac}{4a^2}$$
Elevando alla radice: $$x + \tfrac{b}{2a} = \pm \tfrac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$
Definiamo il discriminante: $$\Delta = b^2 - 4ac$$
Otteniamo infine: $$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$$
$$x^2 + 5x + 6 = 0$$
$$\Delta = 25 - 24 = 1$$
$$x_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{1}}{2}$$
$$x_1 = -3, \quad x_2 = -2$$
Con la regola di Cartesio: due permanenze di segno → due radici negative.
$$x^2 - 4x - 5 = 0$$
$$\Delta = 16 + 20 = 36$$
$$x_{1,2} = \frac{4 \pm 6}{2}$$
$$x_1 = -1, \quad x_2 = 5$$
Con la regola di Cartesio: una variazione e una permanenza → una radice positiva e una negativa.
$$x^2 + 4x - 5 = 0$$
$$\Delta = 16 + 20 = 36$$
$$x_{1,2} = \frac{-4 \pm 6}{2}$$
$$x_1 = -5, \quad x_2 = 1$$
Con la regola di Cartesio: una permanenza seguita da una variazione → una radice negativa e una positiva.
Introduci il coefficiente "a" del trinomio di secondo grado
Introduci il coefficiente "b" del trinomio di secondo grado
Introduci il coefficiente "c" del trinomio di secondo grado
Specifica dal menu a tendina "maggiore di zero" o minore di zero
...
...
...
La regola di Cartesio permette di prevedere il numero di radici positive e negative di un polinomio, osservando le variazioni e permanenze di segno dei coefficienti.
Consideriamo l'equazione: $$x^2 + 5x + 6 = 0$$
Analizzando i coefficienti: 1 (+), 5 (+), 6 (+), notiamo due permanenze di segno (da 1 a 5 e da 5 a 6).
Secondo la regola di Cartesio, il numero di radici negative corrisponde al numero di permanenze di segno: in questo caso due radici negative.
Risolvendo l'equazione: $$\Delta = 5^2 - 4\cdot1\cdot6 = 25 - 24 = 1$$ $$x_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{1}}{2}$$ $$x_1 = -3,\quad x_2 = -2$$
Notiamo che la permanenza di segno prima della variazione determina che la radice negativa in modulo maggiore è x₁ = -3.
Consideriamo l'equazione: $$x^2 - 4x - 5 = 0$$
Coefficienti: 1 (+), -4 (-), -5 (-). Analizzando, troviamo una variazione di segno (da 1 a -4) e una permanenza di segno (da -4 a -5).
Quindi ci sarà una radice positiva e una negativa. La radice positiva (dalla variazione di segno) sarà maggiore in modulo rispetto a quella negativa (dalla permanenza di segno).
Risolvendo: $$\Delta = (-4)^2 - 4\cdot1\cdot(-5) = 16 + 20 = 36$$ $$x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{36}}{2}$$ $$x_1 = -1, \quad x_2 = 5$$